СТЕПЕНИ. СВОЙСТВА СТЕПЕНЕЙ.

✅ Определение. Степенью числа а с натуральным показателем n, большим 1, называют выражение аⁿ, равное произведению n множителей, каждый из которых равен а.

Степенью числа а с показателем 1 называют выражение а¹, равное а.

По определению:

Запись аⁿ читается так: «а в степени n» или «n-я (энная) степень числа а». Для второй и третьей степеней числа используют специальные названия: вторую степень числа называют квадратом, а третью степень — кубом.

Возведение в степень

Нахождение n-й степени числа а называют возведением в n-ю степень.

Пример 1. Возведём число –3 в четвёртую и пятую степени:

(–3)⁴ = (-3) • (-3) • (-3) • (-3) = 81;

(–3)⁵ = (-3) • (-3) • (-3) • (-3) • (-3) = –243.

Из свойств умножения следует, что:

при возведении нуля в любую степень получается нуль;
при возведении положительного числа в любую степень получается положительное число;
при возведении отрицательного числа в степень с чётным показателем получается положительное число, а при возведении отрицательного числа в степень с нечётным показателем — отрицательное число.

Пример 2. Возведём число 6,1 в седьмую степень, воспользовавшись калькулятором. Для этого надо выполнить умножение:

6,1 • 6,1 • 6,1 • 6,1 • 6,1 • 6,1 • 6,1.

Калькулятор позволяет выполнять возведение в степень проще, не повторяя основание степени и знак умножения. Для того чтобы возвести число 6,1 в седьмую степень, достаточно ввести число 6,1, нажать клавишу УМНОЖИТЬ и шесть раз нажать клавишу РАВНО . Получим, что 6,1⁷ = 314274,28.

При вычислении значений числовых выражений, не содержащих скобки, принят следующий порядок действий: сначала выполняют возведение в степень, затем умножение и деление, далее сложение и вычитание.

Пример 3. Найдём значение выражения –6² + 64 : (–2)⁵. Последовательно находим:

1) 6² = 36;

2) (–2)⁵ = –32;

3) 64 : (–32) = –2;

4) –36 + (–2) = –38.

Пример 4. Найдём множество значений выражения 5 • (–1)^{n + 1} + 2, где n ∈ N.

Если n — нечётное число, то (-1)^{n + 1} = 1; тогда 5 • (-1)^{n + 1} + 2 = 5 • 1 + 2 = 7.

Если n — чётное число, то (-1)^{n + 1} = -1; тогда 5 • (-1)^{n + 1} + 2 = 5 • (-1) + 2 = -5 + 2 = -3.

Множество значений данного выражения: {-3; 7}.

В рассмотренном примере было указано, что n ∈ N. Условимся в дальнейшем такое указание опускать и считать, что если показатель степени содержит переменную, то значениями этой переменной являются натуральные числа.

Дисперсия

Степень с натуральным показателем широко используется в естествознании для вычисления различных характеристик. Например, в статистике, для того чтобы узнать, как числа некоторой выборки расположены по отношению к среднему арифметическому этой выборки, используют отклонения, их квадраты и среднее арифметическое квадратов отклонений — дисперсию.

Пример 5. Дана выборка: 4, 6, 7, 8, 10. Среднее арифметическое этой выборки равно 7. Тогда отклонения вариант данной выборки от среднего арифметического равны: 4 – 7 = –3, 6 – 7 = –1, 7 – 7 = 0,8 – 7 = 1, 10 – 7 = 3, т. е. мы получили ещё один набор чисел — отклонения каждой варианты выборки от среднего арифметического. По новой выборке (–3; –1; 0; 1; 3) можно судить о том, насколько близки к среднему арифметическому числа исходного набора. Но поскольку сумма отклонений равна нулю, то и среднее арифметическое этой новой выборки также равно нулю. Поэтому для дальнейших исследований исходного набора находят квадраты отклонений и их среднее арифметическое

Полученное число и есть дисперсия исходной выборки.

Умножение степеней

Представим произведение степеней а⁵ и а² в виде степени:

а⁵ • а² = (а • а • а • а • а) • (а • а) = а • а • а • а • а • а • а = а⁷.

Мы получили степень с тем, же основанием и показателем, равным сумме показателей множителей. Подмеченное свойство выполняется для произведения любых двух степеней с одинаковыми основаниями.

Если а — произвольное число, m и n — любые натуральные числа, то:

а^m • аⁿ = а^{m+ n}

Докажем это. Из определения степени и свойств умножения следует, что

Доказанное свойство называется основным свойством степени. Оно распространяется на произведение трёх и более степеней. Это нетрудно показать с помощью таких же рассуждений.

Из основного свойства степени следует правило:

чтобы перемножить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить тем же, а показатели степеней сложить.

Деление степеней

Представим теперь в виде степени частное степеней а⁸ и а³, где а ≠ 0. Так как а³ • а⁵ = а⁸, то по определению частного а⁸ : а³ = а⁵.

Мы получили степень с тем же основанием и показателем, равным разности показателей делимого и делителя. Такое свойство выполняется для частного любых степеней с одинаковыми основаниями, не равными нулю, у которых показатель делимого больше показателя делителя.

Если а — произвольное число, не равное нулю, m и n — любые натуральные числа, причём m > n, то а^m : аⁿ = а^{m — n}, где а ≠ 0, m ≥ n

Докажем это. Умножим а^{m — n} на аⁿ, используя основное свойство степени:

a^{m – n} • aⁿ = a^{(m – n) + n} = a^{m – n + n} = a^m

Из доказанного свойства следует правило: