Определение периодической дроби

Периодическая дробь - это бесконечная десятичная дробь в записи которой с определённого места бесконечно повторяется определённая группа цифр. Например 2.2(3), 0.(7). Цифры в скобках называются периодом дроби.

Виды периодических дробей

Чистая периодическая десятичная дробь - это дробь в записи которой после точки сразу идёт периодическая часть. Например 1.(5), 0.(14), 12.(3).

Смешанная периодическая десятичная дробь - это дробь в записи которой между точкой и периодической частью присутствует одна или более цифр. Например 4.14(3), 0.51(34).

Как перевести периодическую дробь в обыкновенную

Алгоритм зависит от вида периодической дроби, чистая или смешанная дробь.

Алгоритм перевода чистой периодической дроби в обыкновенную

С алгоритмом перевода лучше разбираться на примере, переведём периодическую чистую дробь 0.(23) в обыкновенную.

• 1) Нужно обозначить дробь за x. x = 0.(23)
• 2) Затем равенство умножить на такое число, чтобы период стал целым числом. Т.е. в данном случае на 100. 100x = 23.(23)
• 3) Вычтем исходное равенство из полученного. 100x-x=23.(23)-0.(23), 99x=23
• 4) Вычислить x. x=23/99

Алгоритм перевода смешанной периодической дроби в обыкновенную

С алгоритмом перевода лучше разбираться на примере, переведём периодическую смешанную дробь 0.9(6) в обыкновенную.

• 1) Нужно обозначить дробь за x. x = 0.9(6)
• 2) Затем равенство умножить на такое число, чтобы период стал целым числом. Т.е. в данном случае на 100. 100x = 96.(6)
• 3) Затем равенство умножить на такое число, чтобы числа до периода оказались в целой части. Т.е. в данном случае на 10. 10x = 9.(6)
• 4) Вычтем равенства. 100x-10x=96.(6)-9.(6), 90x=87
• 5) Вычислить x. x=87/90=29/30

Пример перевода бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь

Переведём дробь 0.5(3)

• 1) Обозначим дробь за x. x = 0.5(3)
• 2) Затем равенство умножить на такое число, чтобы период стал целым числом. Т.е. в данном случае на 100. 100x = 53.(3)
• 3) Затем равенство умножить на такое число, чтобы числа до периода оказались в целой части. Т.е. в данном случае на 10. 10x = 5.(3)
• 4) Вычтем равенства. 100x-10x=53.(3)-5.(3), 90x=48
• 5) Вычислить x. x=48/90=8/15

Переведём дробь 0.(1)

• 1) Обозначим дробь за x. x = 0.(1)
• 2) Затем равенство умножить на такое число, чтобы период стал целым числом. Т.е. в данном случае на 10. 10x = 1.(1)
• 3) Вычтем равенства. 10x-x=1.(1)-0.(1), 9x=1
• 4) Вычислить x. x=1/9