Натуральное число а делится нацело на натуральное число b, если существует натуральное число с, при умножении которого на b получается число а.

 Если один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

 Если первое число делится на второе, а второе делится на третье, то первое число делится на третье.

 Если каждое из двух чисел делится на некоторое число, то их сумма и разность делятся на это число.

 Если одно из двух чисел делится на некоторое число, а другое на него не делится, то их сумма и разность не делятся на это число.

 Число, делящееся на 2, называют чётным.

 Число, не делящееся на 2, называют нечётным.

 Простым числом называют такое натуральное число, которое больше единицы и делится только на 1 и само на себя.

 Непростые натуральные числа, большие единицы, называют составными.

 Если натуральное число а делится на натуральное число b, то число b называют делителем числа а.

 Разложить данное составное число на простые множители – значит, представить его в виде произведения различных его простых делителей или их степеней.

 Числа, не имеющие общих простых делителей, называют взаимно простыми числами.

 Наименьшим общим кратным натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число, делящееся нацело на а и b.

На 5.  Если последняя цифра 0  или 5, то число делится на 5

На 10. Если последняя цифра 0, то число делится на 10.

На 4. Если последними двумя цифрами образуется число, делящееся на 4, то и исходное число делится на 4

На 25.  Если последними двумя цифрами образуется число, делящееся на 25, то и исходное число поделится на 25.

На 8. Если последние 3 цифры образуют число, которое делится на 8, то и исходное число разделится на 8

На 3.  Если сумма цифр числа разделилась на 3, то и исходное число разделится на 3

На 9. Если сумма цифр разделилась на 9, то и исходное число разделится на 9

На 11. Пронумеруем разряды числа в порядке «слева направо» или «справа налево» (не принципиально). Найдем сумму цифр, стоящих на четных местах. Затем найдем сумму цифр с нечетных мест. Если разность этих сумму будет делиться на 11, то и исходное число будет кратно 11.

Пример: делится ли на 11 число 9687534241 ?

Сумма цифр на четных местах х₁=6+7+3+2=18 

Сумма на нечетных                  х₂=9+8+5+4+1=27 

Найдем разность х₂-х₁=27-18=9. Она не делится на 11, поэтому

9687534241 не делится на 11.

На 7.  Пронумеруем классы у числа в порядке «слева направо» или «справа налево» (не важно)
Найдем сумму трехзначных чисел, соответствующих классам на четных местах, и сумму трехзначных чисел, взятых из классов с нечетными местами. Если разность этих сумм поделится на 7, то и начальное число поделится на 7.

Пример: делится ли на 7 число 123456789556 ?

Сумма чисел из классов на четных местах х₁=456+556=1012
Сумма на нечетных х₂=123+789=912
Разность этих сумм х₂-х₁=1012-912=100 — не делится на 7.
Значит и 123456789556  не делится на 7.

На 13. Если разность сумм классов (как из предыдущего признака) разделится на 13, то и начальное число обязано поделиться на 13.

На 8. Возьмем 3 последние цифры числа. Число делится на 8 тогда и только тогда, когда: — число сотен — четное (включая 0) и последние 2 его цифры делятся на 8, или число сотен — нечетное и последние 2 его цифры +4 делятся на 8.

Пример.
Число сотен - четное: 232=2’32, 32 делится на 8, а значит, и 232 делится на 8.
Число сотен- нечетное: 712=7’12, 12+4=16, 16 делится на 8, а значит, и 712 делится на 8.